소수와 소인수분해

사십이의 약수를 빠짐없이 찾으려면 어떻게 해야 할까요? 하나씩 나누어 보는 대신, 숫자 카드로 생각해 봅시다. 오늘의 질문은 이것입니다. 어떤 카드로 나누어 놓으면, 약수를 쉽게 찾을 수 있을까요?

사십이는 이 곱하기 삼 곱하기 칠입니다. 이 카드, 삼 카드, 칠 카드를 놓아 볼게요. 한 장씩 고르면 이, 삼, 칠. 모두 사십이의 약수입니다. 선택한 카드와 남은 카드를 곱하면 다시 사십이가 되기 때문이에요.

이번에는 두 장을 골라 곱해 볼까요? 이와 삼은 육. 이와 칠은 십사. 삼과 칠은 이십일입니다. 세 장을 모두 고르면 사십이. 카드를 고르는 일이, 약수를 찾는 일이 되었네요!

그런데 하나 빠졌어요. 바로 일입니다. 일은 모든 자연수의 약수예요. 카드로 만든 수들에 일을 꼭 더해 줍시다. 일, 이, 삼, 육, 칠, 십사, 이십일, 사십이. 이제 사십이의 약수를 모두 찾았습니다.

이번에는 이, 오, 육 카드입니다. 모두 곱하면 육십이죠. 한 장으로 이, 오, 육. 두 장으로 십, 십이, 삼십. 세 장으로 육십. 일도 챙겼어요. 그렇다면 육십의 약수를 모두 찾은 걸까요? 잠깐 멈추고 생각해 보세요.

삼, 사, 십오, 이십도 육십의 약수입니다. 그런데 이, 오, 육 카드를 아무리 골라도 이 수들은 만들 수 없어요. 왜 그럴까요? 실마리는 육 카드에 있습니다. 육 안에는 이와 삼이 함께 묶여 있거든요.

육 카드를 이 카드와 삼 카드로 나누어 볼게요. 이제 이, 이, 삼, 오 카드가 되었습니다. 삼을 따로 고를 수 있고, 이 두 장으로 사를 만들 수 있어요. 삼 곱하기 오는 십오. 이 곱하기 이 곱하기 오는 이십. 빠졌던 약수들이 나타납니다!

육은 이 곱하기 삼으로 더 나눌 수 있었어요. 그렇다면 이, 삼, 오, 칠은 어떨까요? 일보다 큰 자연수 두 개의 곱으로는 더 나눌 수 없어요. 이런 카드만으로 나누어 두면, 카드를 골라 약수를 빠짐없이 찾을 수 있습니다. 물론 일도 챙기고요.

이 특별한 수에 이름을 붙이기 전에, 일 카드를 생각해 봅시다. 이 곱하기 일은 이. 이 곱하기 일 곱하기 일도 이예요. 일 카드를 넣어도 새로운 약수는 생기지 않고 같은 결과만 반복됩니다. 곱셈을 만드는 기본 카드에서는 일을 빼기로 해요.

일보다 큰 자연수 중에서, 약수가 일과 자기 자신뿐인 수. 이런 수를 소수라고 합니다. 약수가 정확히 두 개인 거예요. 이, 삼, 오, 칠은 소수입니다. 육은 약수가 일, 이, 삼, 육이므로 소수가 아니에요. 일은 약수가 하나뿐이라 소수도, 합성수도 아닙니다.

육십을 이 곱하기 오 곱하기 육으로 쓰는 데서 멈추지 않고, 이 곱하기 이 곱하기 삼 곱하기 오까지 나누었죠. 이처럼 일보다 큰 자연수를 소수들만의 곱으로 나타내는 것을, 소인수분해라고 합니다. 육십의 소인수는 이, 삼, 오입니다.

육십을 소인수분해했으니, 이제 카드들을 골라 모든 약수를 찾을 수 있어요. 같은 이 카드도 두 장이 필요합니다. 한 장을 고르면 이, 두 장을 고르면 사가 되니까요. 같은 결과는 한 번만 적고, 일도 포함하면 육십의 약수 열두 개가 모두 모입니다.

우리는 약수를 쉽게 찾고 싶었어요. 그래서 수를 더 나누어 보고, 도움이 되는 수를 발견하고, 소수라는 이름을 붙였습니다. 그 소수들의 곱으로 나타내는 방법은 소인수분해가 되었죠. 수학은 이렇게, 문제를 쉽게 해결하도록 돕는 생각에 이름을 붙이는 일입니다. 소수와 소인수분해는 어떤 문제를 쉽게 해결하도록 도와주었나요?